2.4　2次元の座標変換

　2次元の座標変換を考える。変換には、移動、スケーリング（縮小・拡大）、回転などがある。これらの変換を一まとめに表現できる方法として、同次座標(homogenous coordinate)がある。

　点[x　y]は同次座標では[x　y　1]と表現する。また、同次座標で点[X　Y　W]は普通の座標系ではとなる点を表しているものとする。このWは倍率（重み）の役割をしている。W=0なら無限遠点を表現することになる。変換前の座標をP[x　y]、変換後の座標をP'[x'　y']とすると、変換は次のように表せる。

a)　移動（の移動量,の移動量）

　　(2.2)

すなわち、、

b)　スケーリング（の倍率、の倍率）

　　(2.3)

すなわち、、

c)　回転（θ:回転角）

　　(2.4)

すなわち、

　　(2.5)

　このように、同次座標を使うと、多くの変換を統一的な3×3の変換行列の形式で書ける。また、多くの変換を続けて行う際、変換行列を予めかけ合わせることができる。例えば、-60度回転した後[1 2]ほど移動を考える。まず、回転行列は次式となる。

　　(2.6)

　また、移動の変換行列は次式である。

　　(2.7)

　したがって、両者の積を用いて次式の変換行列が得られる。

　　(2.8)

図2.4:　2次元図形の回転移動

　図2.4にオリジナルの長方形およびその回転後の図形（図中の点線）を示す。例えば、点P[2　4]は、式(2.8)から変換後はとなる。

(d)　アフィン変換

　2次元アフィン変換の一般型は次式で表せます。

　　(2.9)

　（ただしa,b,c,d,D_x,D_yは定数、）上式において、ａ＝ｂ＝１,ｂ＝ｃ＝０のときは平行移動、,,のときは拡大・縮小となります。したがって、アフィン変換は、拡大・縮小、反転などの変換と平行移動が結合された変換です。図2.5にアフィン変換の例を示す。

図2.5:　アフィン変換の例